Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą uzmieniania stałych

W module tym omówimy wyznaczanie rozwiązań dla równań liniowych niejednorodnych postaci

(1)

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_1(t)y^{\prime}(t)+b_0(t)y(t)=g(t), \)

gdy znamy fundamentalny zbiór rozwiązań równania jednorodnego

(2)

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_1(t)y^{\prime}(t)+b_0(t)y(t)=0. \)

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\ldots , y_n(t)\hskip 0.3pc \) będą fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego ( 2 ).

TEZA:

Wtedy rozwiązanie równania ( 1 ) jest określone następująco

\( y(t)=c_1(t)y_1(t)+\cdots +c_n(t)y_n(t). \)

Gdzie współczynniki \( \hskip 0.3pc c_1(t),\ldots ,\hskip 0.3pc c_n(t)\hskip 0.3pc \) są dowolnymi rozwiązaniami układu równań

\( \begin{cases}y_1(t)c_1^{\prime}(t)+\cdots +y_n(t)c_n^{\prime}(t)=0 & \\ y_1^{\prime}(t)c_1^{\prime}(t)+\cdots + y_n^{\prime}(t)c_n^{\prime}(t)=0& \\ \vdots &\\ y_1^{(n-2)}(t)c_1^{\prime}(t)+\cdots +y_n^{(n-2)}(t)c_n^{\prime}(t)=0 &\\y_1^{(n-1)}(t)c_1^{\prime}(t)+\cdots +y_n^{(n-1)}(t)c_n^{\prime}(t)=g(t). \end{cases} \)

DOWÓD:

Dowód twierdzenia podamy w przypadku gdy \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip0.3pc \) dla większych \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) dowód jest podobny.

Niech funcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) będą układem fundamentalnym dla równania jednorodnego

(3)

\( y^{\prime\prime}(t)+b_1(t)y^{\prime}(t)+b_0(t)y(t)=0. \)

Szukamy rozwiązania równania niejednorodnego

(4)

\( y^{\prime\prime}(t)+b_1(t)y^{\prime}(t)+b_0(t)y(t)=g(t) \)

w następującej postaci

\( y(t)=c_1(t)y_1(t)+c_2(t)y_2(t) \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1(t),\hskip 0.3pc c_2(t)\hskip 0.3pc \)

są nieznanymi funkcjami. W celu wyznaczenia nieznanych funkcji \( \hskip 0.3pc c_1(t),\hskip 0.3pc c_2(t)\hskip 0.3pc \) podstawiamy \( \hskip 0.3pc y(t),\hskip 0.3pc y^{\prime}(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t),\hskip 0.3pc \) gdzie

\( \begin{aligned}y^{\prime}(t)=&c_1^{\prime}(t)y_1(t)+c_1(t)y_1^{\prime}(t)+c_2^{\prime}(t)y_2(t)+c_2(t)y_2^{\prime}(t),\\y^{\prime\prime}(t)=&c_1^{\prime\prime}(t)y_1(t)+c_1^{\prime}(t)y_1^{\prime}(t)+c_1^{\prime}(t)y_1^{\prime}(t)+c_1(t)y_1^{\prime\prime}(t)+\\ &c_2^{\prime\prime}(t) y_2(t)+c_2^{\prime}(t)y_2^{\prime}(t)+c_2^{\prime}(t)y_2^{\prime}(t)+c_2(t)y_2^{\prime\prime}(t) \end{aligned} \)

do równania niejednorodnego ( 4 ) otrzymujemy

\( \begin{aligned}&c_1^{\prime\prime}y_1+c_1^{\prime}y_1^{\prime}+c_1^{\prime}y_1^{\prime}+ c_1y_1^{\prime\prime}+ c_2^{\prime\prime}y_2+ c_2^{\prime}y_2^{\prime}+c_2^{\prime}y_2^{\prime}+c_2y_2^{\prime\prime}+b_1(c_1^{\prime}y_1+c_1y_1^{\prime}+ c_2^{\prime}y_2+ c_2 y_2^{\prime})+b_0(c_1y_1+c_2y_2)\\&=(c_1^{\prime}y_1+c_2^{\prime}y_2)^{\prime}+ b_1(c_1^{\prime}y_1+c_2^{\prime}y_2)+ c_1(y_1^{\prime\prime} +b_1 y_1^{\prime}+b_0y_1) +c_2(y_2^{\prime\prime}+b_1y_2^{\prime}+b_0y_2)+c_1^{\prime}y_1^{\prime}+c_2^{\prime}y_2^{\prime}=g(t).\end{aligned} \)

Do znalezienia dwóch niewiadomych funkcji potrzebujemy dwa niezależne warunki. Więc jeżeli przyjmiemy, że

\( c_1^{\prime}(t)y_1(t)+c_2^{\prime}(t)y_2(t)=0 \)

i uwzględnimy fakt, że funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t), \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania ( 3 ) czyli

\( y_1^{\prime\prime}(t)+b_1(t)y_1^{\prime}(t)+b_0(t)y_1(t)=0,\hskip 1pc y_2^{\prime\prime}(t)+b_1(t)y_2^{\prime}(t)+b_0(t)y_2(t)=0, \)

to dostaniemy zależność

\( c_1^{\prime}(t)y_1^{\prime}(t)+c_2^{\prime}(t)y_2^{\prime}(t)=g(t). \)

Ponieważ wrońskian \( \hskip 0.3pc W(y_1(t),y_2(t)) \neq 0,\hskip 0.3pc \) więc układ równań

\( \begin{cases}y_1(t) c_1^{\prime}(t)+ y_2(t)c_2^{\prime}(t)=0 & \\ y_1^{\prime}(t)c_1^{\prime}(t)+ y_2^{\prime}(t)c_2^{\prime}(t)= g(t) \end{cases} \)

posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami

Cramera

\( c_1^{\prime}(t)=\frac{w_1(t)}{w(t)}, \hskip 1pc c_2^{\prime}(t)=\frac{w_2(t)}{w(t)}, \)

gdzie

\( w(t)=\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\y_1^{\prime}(t) & y_2^{\prime}(t) \end{vmatrix}, \hskip 0.5pc w_1(t)=\begin{vmatrix} 0 & y_2(t) \\g(t) & y_2^{\prime}(t) \end{vmatrix}, \hskip 0.5pc w_2(t)=\begin{vmatrix} y_1(t) & 0 \\ y_1^{\prime}(t) & g(t) \end{vmatrix} \)

Po scałkowaniu dostajemy

\( c_1(t)=\int \frac{w_1(t)}{w(t)}dt+c_1, \hskip 1pc c_2(t)=\int \frac{w_2(t)}{w(t)}dt+c_2 \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe. Stąd ogólna postać rozwiązania równania niejednorodnego jest następująca

\( y(t)=y_1(t)\left(\int \frac{w_1(t)}{w(t)}dt+c_1\right)+y_2(t)\left(\int \frac{w_2(t)}{w(t)}dt+c_2\right) \)

Przykład 1:

Funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)=t^2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)=\frac{1}{t}\hskip 0.3pc \) stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania jednorodnego

\( t^2y^{\prime\prime}(t)-2y(t)=0 \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc t\in (0,+\infty ). \)

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\( t^2y^{\prime\prime}(t)-2y(t)=3t^2-1 \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc t\in (0,+\infty ). \)

Dzieląc powyższe równanie przez \( \hskip 0.3pc t^2,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( y^{\prime\prime}(t)-\frac{2}{t^2}y(t)=3-\frac{1}{t^2}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc g(t)=3-\frac{1}{t^2},\hskip 0.3pc \) więc

\( w(t)=\begin{vmatrix} t^2 & \frac{1}{t}\\2t & -\frac{1}{t^2} \end{vmatrix}=t^2(-\frac{1}{t^2})-2t\frac{1}{t}=-1-2=-3, \)

\( w_1(t)=\begin{vmatrix}0 & \frac{1}{t}\\3-\frac{1}{t^2}& -\frac{1}{t^2} \end{vmatrix}=\frac{-3}{t}+\frac{1}{t^3}, \hskip 1pc w_2(t)=\begin{vmatrix} t^2 & 0\\ 2t & 3-\frac{1}{t^2} \end{vmatrix}=3t^2-1. \)

Stąd

\( c_1(t)=\displaystyle\int \frac{w_1(t)}{w(t)}dt=\displaystyle\int \frac{dt}{t}-\frac{1}{3}\displaystyle\int \frac{dt}{t^3}=\ln t+\frac{1}{6t^2}+c_1 \)

\( c_2(t)= \int \frac{w_2(t)}{w(t)}dt=\int \frac{3t^2-1}{-3}dt=-\int t^2dt+\frac{1}{3}\int dt=-\frac{t^3}{3}+\frac{t}{3}+c_2. \)

Rozwiązanie ogólne rozpatrywanego równania ma postać

\( y(t)=t^2\left(\ln t+\frac{1}{6t^2}+c_1\right)+\frac{1}{t}\left(-\frac{t^3}{3}+\frac{t}{3}+c_2\right)=t^2\ln t-\frac{t^2}{3}+\frac{1}{2}+t^2c_1+\frac{1}{t} c_2. \)

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Jeżeli funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\ldots ,y_n(t)\hskip 0.3pc \) są układem fundamentalnym rozwiązań równania jednorodnego

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=0, \hskip 1pc t\in I \)

i funkcje \( \hskip 0.3pc Y_i(t), \hskip 0.5pc i=1,\ldots,k\hskip 0.3pc \) są odpowiednio rozwiązaniami równań

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=g_i(t), \hskip 1pc t\in I, \hskip 1pc i=1,\ldots,k . \)

TEZA:

Wtedy dla dowolnych stałych \( \hskip 0.3pc c_1, \hskip 0.3pc \ldots,\hskip 0.3pc c_n\hskip 0.3pc \) funkcja

\( y(t)=c_1y_1(t)+\cdots +c_ny_n(t)+Y_1(t)+\cdots +Y_k(t) \)

jest rozwiązaniem równania

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=g_1(t)+\cdots +g_k(t), \hskip 1pc t\in I . \)

DOWÓD:

Z założeń twierdzenia wynika prawdziwość następujących zależności

\( y_j^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y_j^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y_j^{\prime}(t)+b_{0}(t)y_j(t)=0,\hskip 1pc j=1,\ldots,n \)

\( Y_i^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)Y_i^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)Y_i^{\prime}(t)+b_{0}(t)Y_i(t)=g_i(t), \hskip 1pc i=1,\ldots,k. \)

Z własności pochodnych i powyższych zależności mamy

\( \begin{aligned}&\sum_{j=1}^{n}c_j(y_j^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y_j^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y_j^{\prime}(t)+b_{0}(t)y_j(t))+\\&\sum_{i=1}^{k}(Y_i^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)Y_i^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)Y_i^{\prime}(t)+b_{0}(t)Y_i(t))=\\& y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=g_1(t)+\cdots +g_k(t),\end{aligned} \)

co kończy dowód twierdzenia.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą uzmieniania stałych

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Przykład 1:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: